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[GPU Gems 3笔记] Part V-1: Real-Time Rigid Body Simulation on GPUs

刚体模拟基础​

刚体运动主要包括位移和旋转两个部分。其中位移非常简单，就是质心的移动。当一个力FF作用在一个刚体上，这会引起其动量(linear momentum)PP的变化，具体地：

dPdt=F.\frac{dP}{dt} = F.

根据动量可以获得速度：

v=PMv = \frac{P}{M}

关于旋转，这个力FF作用在刚体上同样也会带来角动量(angular momentum)LL的变化，具体地：

dLdt=r×F\frac{dL}{dt} = r \times F

其中rr是力的作用点和质心的相对位置。

根据角动量可以获得角速度ω\omega：

ω=I(t)−1L\omega = I(t)^{-1}L

其中I(t)−1I(t)^{-1}是刚体在时间t的惯性张量，它是一个3×33\times3的矩阵。惯性张量是会随着刚体的姿态变化的，所以我们需要在每一个仿真步长对其进行更新。而具体到每个时间t的惯性张量的力，可以用下式得到：

I(t)−1=R(t)I(0)−1R(t)TI(t)^{-1} = R(t)I(0)^{-1}R(t)^T

其中R(t)R(t)是时间t时旋转矩阵，一般来说我们会使用四元数来存储旋转，所以这一步需要一些转换。而四元数的计算可以由角速度得到：

dq=[cos⁡(θ/2),a⋅sin⁡(θ/2)]dq = [\operatorname{cos}(\theta/2), a\cdot \operatorname{sin}(\theta / 2)]

其中a=ω/∣ω∣a=\omega/|\omega|是旋转轴，θ=ωt\theta = \omega t是旋转角。

刚体形状表达​

为了加速碰撞运算，本文选择使用一系列粒子来表示刚体。

具体做法：首先使用3D体素来近似的表示这个rigidbody（通过划分3D网格），然后在每一个体素放一个粒子。这个生成过程可以在GPU中进行加速，首先打一组平行光到刚体上，光线到刚体上的第一个交点构成了一个深度图，第二个交点构成了第二个深度图。那么很明显第一个深度图就表示刚体正面，第二个深度图表示刚体的反面。那么我们将体素作为输入，通过检测这些体素的深度，哪些体素的深度在两个深度图之间，哪些体素就在刚体内，那么就可以在这里生成一个粒子。

depthpeeling

碰撞检测​

将刚体用粒子进行表示之后，碰撞检测就被简化为了粒子之间的碰撞检测。这样有一个好处就是碰撞检测很简单，另一个好处就是碰撞检测的精度和速度都是可控的，如果要更大的精度，就可以调小粒子半径，如果要更快的速度就可以用更大的粒子半径。

另一方面，可以使用空间哈希来进行优化，通过选择合适的网格大小，能够让计算效率最大化，一般来说网格的边长是粒子的半径的两倍。

碰撞响应​

粒子之间的碰撞力使用离散元（DEM）方法计算得到，这是一种用于计算颗粒材料的方法。粒子之间的斥力fi,sf_{i,s}由一个线性弹簧进行模拟，阻尼力fi,df_{i,d}用一个阻尼器来进行模拟。对于一组碰撞粒子i和j，这些力的计算方法如下：

fi,s=−k(d−∣rij∣)rij∣rij∣fi,d=ηvijf_{i,s} = -k(d-|r_{ij}|)\frac{r_{ij}}{|r_{ij}|}\\ f_{i,d}=\eta v_{ij}

其中的k,η,d,rij,vijk,\eta,d,r_{ij},v_{ij}分别是弹簧弹性系数，阻尼系数，粒子直径，粒子的相对位置和相对速度。 同时还可以模拟剪切力，它与相对切向速度vij,tv_{ij,t}成正比：

fi,t=ktvij,tf_{i,t}=k_tv_{ij,t}

其中这个相对切向速度的计算方法为：

vij,t=vij−(vij⋅rij∣rij∣)rij∣rij∣v_{ij,t}=v_{ij}-\left(v_{ij}\cdot\frac{r_{ij}}{|r_{ij}|}\right)\frac{r_{ij}}{|r_{ij}|}

通过将力累积就可以获得作用与当前刚体的碰撞力和力矩：

Fc=∑i∈RigidBody(fi,s+fi,d+fi,t)Tc=∑i∈RigidBody(ri×(fi,s+fi,d+fi,t))F_c = \sum_{i\in RigidBody}(f_{i,s}+f_{i,d}+f_{i,t})\\ T_c = \sum_{i\in RigidBody}(r_i\times (f_{i,s}+f_{i,d}+f_{i,t}))

其中rir_i是当前粒子i相对刚体质心的相对位置。

GPU上的刚体模拟​

GPUFramework

具体算法的流程图如上，主要包括：

  1. Computation of particle values
  2. Grid generation
  3. Collision detection and reaction
  4. Computation of momenta
  5. Computation of position and quaternion

其中大部分工作都是内存排不相关的处理，暂不做过多了解。

应用场景​

  1. 用于模拟颗粒材料，力直接驱动粒子的位移
  2. 流体模拟，加速SPH的粒子邻近搜索
  3. 流固耦合